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Beschreibung:
Frontmatter -- TABLE DES MATIÈRES -- Préface -- Partie I. Théorie de Morse -- Introduction de la première partie -- 1. Fonctions de Morse -- 2. Pseudo-gradients -- 3. Le complexe des points critiques -- 4. Homologie de Morse, applications -- Partie II. La conjecture d’Arnold, théorie de Floer -- Introduction de la deuxième partie -- 5. Ce qu’il faut savoir en géométrie symplectique -- 6. La conjecture d’Arnold et l’équation de Floer -- 7. Géométrie du groupe symplectique, indice de Maslov -- 8. Linéarisation et transversalité -- 9. Homologie de Floer : étude des espaces de trajectoires -- 10. De Floer à Morse -- 11. Homologie de Floer : invariance -- 12. La régularité elliptique de l’opérateur de Floer -- 13. Les lemmes sur la dérivée seconde de l’opérateur de Floer et autres technicités -- Exercices de la deuxième partie -- Appendices : ce qu’il faut savoir pour lire ce livre -- 14. Un peu de géométrie différentielle -- 15. Un peu de topologie algébrique -- 16. Un peu d’analyse -- Bibliographie -- Index des notations -- Index terminologique
Cet ouvrage est une introduction aux méthodes modernes de la topologie symplectique. Il est consacré à un problème issu de la mécanique classique, la « conjecture d’Arnold », qui propose de minimiser le nombre de trajectoires périodiques de certains systèmes hamiltoniens par un invariant qui ne dépend que de la topologie de la variété symplectique dans laquelle évolue ce système. La première partie expose la « théorie de Morse », outil indispensable de la topologie différentielle contemporaine. Elle introduit le « complexe de Morse » et aboutit aux inégalités de Morse. Cette théorie, maintenant classique, est présentée de manière détaillée car elle sert de guide pour la seconde partie, consacrée à l’« homologie de Floer », qui en est un analogue en dimension infinie. Les objets de l’étude sont alors plus compliqués et nécessitent l’introduction de méthodes d’analyse plus sophistiquées. Elles sont expliquées en détail dans cette partie. Enfin, l’ouvrage contient en appendice la présentation d’un certain nombre de résultats nécessaires à la lecture du livre dans les trois principaux domaines abordés – géométrie différentielle, topologie algébrique et analyse – auxquels le lecteur pourra se référer si besoin. L’ouvrage est issu d’un cours de M2 donné à l’université de Strasbourg. Le texte, abondamment illustré, contient de nombreux exercices