Anmerkungen:
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Beschreibung:
Les tâches qui consistent à comprendre automatiquement le contenu d’un signal naturel, comme une image ou un son, sont en général difficiles. En effet, dans leur représentation naïve, les signaux sont des objets compliqués, appartenant à des espaces de grande dimension. Représentés différemment, ils peuvent en revanche être plus faciles à interpréter. Cette thèse s’intéresse à une représentation fréquemment utilisée dans ce genre de situations, notamment pour analyser des signaux audio : le module de la transformée en ondelettes. Pour mieux comprendre son comportement, nous considérons, d’un point de vue théorique et algorithmique, le problème inverse correspondant : la reconstruction d’un signal à partir du module de sa transformée en ondelettes. Ce problème appartient à une classe plus générale de problèmes inverses : les problèmes de reconstruction de phase. Dans un premier chapitre, nous décrivons un nouvel algorithme, PhaseCut, qui résout numériquement un problème de reconstruction de phase générique. Comme l’algorithme similaire PhaseLift, PhaseCut utilise une relaxation convexe, qui se trouve en l’occurence être de la même forme que les relaxations du problème abondamment étudié MaxCut. Nous comparons les performances de PhaseCut et PhaseLift, en termes de précision et de rapidité. Dans les deux chapitres suivants, nous étudions le cas particulier de la reconstruction de phase pour la transformée en ondelettes. Nous montrons que toute fonction sans fréquence négative est uniquement déterminée (à une phase globale près) par le module de sa transformée en ondelettes, mais que la reconstruction à partir du module n’est pas stable au bruit, pour une définition forte de la stabilité. On démontre en revanche une propriété de stabilité locale. Nous présentons également un nouvel algorithme de reconstruction de phase, non-convexe, qui est spécifique à la transformée en ondelettes, et étudions numériquement ses performances. Enfin, dans les deux derniers chapitres, nous étudions une représentation plus ...